Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

1

4

x2+

1

2

bx+c与y轴相交于点B，其顶点A在直线y=

3

4

x上运动．
（1）当b=-4时，求点B的坐标；
（2）当△AOB为直角三角形时，求b、c的值；
（3）已知△CDE的三个顶点的坐标分别为C（-5，2）、D（-3，2）、E（-5，6），当抛物线y=

1

4

x2+

1

2

bx+c对称轴左侧的部分与△CDE的三边一共有两个公共点时，求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用顶点式得出M点坐标，再利用顶点在直线y=

3

4

x上，得出b与c的关系，进而得出c的值，即可得出B点坐标；
（2）若点A在第三象限时，△AOB不可能为直角三角形，当点A在坐标原点时，△AOB不存在，若点A在第一象限，当△AOB为直角三角形时，显然只有∠BAO=90°，再利用△OAB∽△OHA，得出OA²=OH•OB．设A（-b，-

3

4

b），则AH=|-

3

4

b|，OA²=b²+

9

16

b²=

25

16

b²，故

25

16

b²=-bc①，又-

3

4

b=

1

4

b²+

1

2

b²+c②，由①②求得b、c的值；
（3）由（1）可知，y=

1

4

（x+b）²-

3

4

b，点E（-5，6）在该抛物线上时，6=

1

4

（-5+b）²-

3

4

b，求出b的值，再求出直线ED的解析式为：y=-2x-4（-6≤x≤-3）．代入抛物线解析式得：-2x-4=

1

4

（x+b）²-

3

4

b．令△=0．解得：b=0．则b的取值范围为：

13- 165

2

≤b≤0．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x2+

1

2

bx+c=

1

4

（x+b）²-

1

4

b²+c，
∴抛物线顶点A坐标为：（-b，-

1

4

b²+c），
∵顶点在直线y=

3

4

x上，
∴-

1

4

b²+c=-

3

4

b，
当b=-4时，c=7，
∴点B的坐标为：（0，7）；

（2）若点A在第三象限时，△AOB不可能为直角三角形，当点A在坐标原点时，△AOB不存在，若点A在第一象限，当△AOB为直角三角形时，显然只有∠BAO=90°．
如图1，过点A在x轴的垂线，垂足为H，
∵∠BAO=∠AHO=90°，∠OBA=∠AOH（同角的余角相等），
∴△OAB∽△AHO，
∴

OA

AH

=

OB

OA

，
∴OA²=AH•OB，
设A（-b，-

3

4

b），则AH=|-

3

4

b|，OA²=b²+

9

16

b²=

25

16

b²，
∴

25

16

b²=-bc，①
又∵-

3

4

b=

1

4

b²+

1

2

b²+c，②
由①②，得
b=-

13

4

，c=

325

64

；

（3）由（1）知，y=

1

4

（x+b）²-

1

4

b²+c=

1

4

（x+b）²-

3

4

b．
当点E（-5，6）在该抛物线上时，6=

1

4

（-5+b）²-

3

4

b，
解得 b=

13± 165

2

，
∵在对称轴的左侧，D（-3，2）、E（-5，6），
∴b只能取

13- 165

2

．
设直线ED的解析式为y=kx+t（k≠0），
则

-3k+t=2 -5k+t=6

，
解得，

k=-2 t=-4

，
∴直线DE的解析式为：y=-2x-4（-6≤x≤-3）．
代入抛物线解析式得：-2x-4=

1

4

（x+b）²-

3

4

b．
整理 得 x²+（2b+8）x+b²-3b+16=0．
令△=0得，（2b+8）²-4（b²-3b+16）=0，
解得：b=0，
∴b的取值范围为：0≤b≤

13- 165

2

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和根的判别式等知识，熟练利用数形结合得出m的取值范围是解题关键．