Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．
（1）AE与BF的关系是

 

；
（2）若△ABC的面积为

3

cm²，S_{四边形ABFE}=

 

；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由△ABC绕点C顺时针旋转180°可知：AC=CF，BC=CE，四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF；
（2）由于AC是△ABE的BE边上中线，∴S_△ABE=2S_△ABC=2

3

，同理S_△BEF=2S_△CEF=2

3

，∴S_?ABFE=4

3

；
（3）要判断四边形ABFE为矩形，从对角线来看，要求AF=BE，又AF与BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC为等边三角形，∠ACB=60°．

解答：解：（1）AE平行且等于BF；

（2）由（1）得四边形ABFE为平行四边形，
∴AC=CF，BC=CE，
∴根据等底同高得到S_△ABC=S_△ACE=S_△BCF=S_△CEF=

3

，
S_{四边形ABFE}=4S_△ABC=4

3

cm²；

（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．
理由是：AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=60°，
∴∠ACE=120°．
又BC=CE，AC=CF，
∴∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠BAE=90°，同理可证其余三个角也为直角．
∴四边形ABFE为矩形．

点评：本题考查旋转的性质--旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．