Question

如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共________个．

Answer 1

4020
分析：先求出点的个数，进一步求出互不重合的三角形的个数．
解答：∵正六边形ABCDEF内放入2008个点，这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，
∴共有2008+6=2014个点．
∵在正六边形内放入1个点时，该正六边形被这个点分成互不重合的三角形共6个；即当n=1时，有6个；然后出现第2个点时，这个点必然存在于开始的6个中的某一个三角形内，然后此点将那个三角形又分成3个三角形，三角形数量便增加2个；又出现第3个点时，同理，必然出现在某个已存在的三角形内，然后又将此三角形1分为3，增加2个…，
∴内部的点每增加1个，三角形个数便增加2个．
于是我们得到一个等差数列：存在n个点时，三角形数目a_n=a₁+（n-1）d=6+2（n-1）=2n+4（n≥1）．
由题干知，2008个点的总数为a₂₀₀₈=2×2008+4=4020（个）．
点评：本题是等差数列的应用，找到点的个数是解题的关键．