Question

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，D为斜边AB上的一个动点，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，以EF为直径作一个圆，记圆的周长为l，则下面结论中错误的是（　　）

• A． 若∠A=30°，则l的最小值等于$\sqrt{3}$π
• B． 若∠A=45°，则l的最小值等于2π
• C． 若∠A=60°，则l的最小值等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• D． 若EF∥AB，则l等于2π

Answer 1

分析 A正确；先证明四边形DFCE是矩形，得出EF=CD，当CD⊥AB时，CD最小，EF最小，再求出BC、AC、CD，即可求出l的最小值；
B正确；由∠A=45°，得出△ABC是等腰直角三角形，CD=$\frac{1}{2}$AB=2，得出EF的最小值=2，即得l的最小值；
C不正确；理由同A；
D正确；先证明四边形BFED是平行四边形，得出DE=BF，证出EF为△ABC的中位线，得出EF=$\frac{1}{2}$AB=2，因此l=2π．

解答 解：A正确；理由如下：如图1所示：
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴EF=CD，
当CD⊥AB时，CD最小，EF最小，
∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴EF的最小值=$\sqrt{3}$，
∴l的最小值=$\sqrt{3}π$；
B正确；理由如下：
若∠A=45°，则△ABC是等腰直角三角形，CD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴EF的最小值=2，
∴l的最小值=2π；
C不正确；理由同A；
D正确；理由如下：如图2所示：
若EF∥AB，则四边形BFED是平行四边形，
∴DE=BF，
又∵四边形DFCE是矩形，
∴DE=CF，
∴BF=CF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴l=2π；
综上所述：只有C错误；
故选：C．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．