Question

2．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．

Answer 1

分析 （1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．

解答 （1）证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；

（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DAF=60°}\\{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．