Question

【题目】如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB=，CD=9，求线段BC和EG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线．

（2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，在Rt△DCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，利用勾股定理可求得CF的长，设AD=DE=BC，根据CD=9，列出方程即可求出x，△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长.

试题解析：（1）证明：如图1，连接OE，OC；

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC

∴△OEC≌△OBC（SSS）

∴∠OBC=∠OEC

又∵DE与⊙O相切于点E

∴∠OEC=90°

∴∠OBC=90°

∴BC为⊙O的切线．

（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，

∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B

∴DA=DE，CE=CB，

在Rt△DFC中，CF==1，

设AD=DE=BF=x，

则x+x+1=9，

x=4，

∵AD∥BG，

∴∠DAE=∠EGC，

∵DA=DE，

∴∠DAE=∠AED；

∵AD∥BG，

∵∠AED=∠CEG，

∴∠EGC=∠CEG，

∴CG=CE=CB=5，

∴BG=10，

在Rt△ABG中，AG==6，

∵AD∥CG，

∴==，

∴EG=×6=．