Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAD＝∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．

求证：（1）AD＝BD；

（2）CD＝DB．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据垂直的定义得到∠AED＝∠BED＝90°，由角平分线的定义得到∠ADE＝∠BDE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠B，等量代换得到∠CAD＝∠BAD＝∠B，求得∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

证明：（1）∵DE⊥AB，

∴∠AED＝∠BED＝90°，

∵DE恰好是∠ADB的平分线，

∴∠ADE＝∠BDE，

∵DE＝DE，

∴△ADE≌△BDE（ASA），

∴AD＝BD；

（2）∵△BED≌△AED，

∴∠BAD＝∠B，

∵∠BAD＝∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，

∵AD＝BD，∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，

∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，

在直角三角形ACD中，∠CAD＝30°，

∴CD＝AD＝BD．