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勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4.作△PQR使得∠R=90°,点H在边QR上,点D,E在边PR上,点G,F在边PQ上,那么△PQR的周长等于
 

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分析:在直角△ABC中,根据三角函数即可求得AC,进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长,在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长,就可求出△PQR的周长.
解答:精英家教网解:延长BA交QR于点M,连接AR,AP.
∵AC=GC,BC=FC,∠ACB=∠GCF,
∴△ABC≌△GFC,
∴∠CGF=∠BAC=30°,
∴∠HGQ=60°,
∵∠HAC=∠BAD=90°,
∴∠BAC+∠DAH=180°,
又AD∥QR,
∴∠RHA+∠DAH=180°,
∴∠RHA=∠BAC=30°,
∴∠QHG=60°,
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°,
∴△QHG是等边三角形.
AC=AB•cos30°=4×
3
2
=2
3

则QH=HA=HG=AC=2
3

在直角△HMA中,HM=AH•sin60°=2
3
×
3
2
=3.AM=HA•cos60°=
3

在直角△AMR中,MR=AD=AB=4.
∴QR=2
3
+3+4=7+2
3

∴QP=2QR=14+4
3

PR=QR•
3
=7
3
+6.
∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13
3

故答案为:27+13
3
点评:正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图1:△ABC中,∠BAC=90°).
请解答:
(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是
 

(2)如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是
 
,请说明理由.
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(3)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,BC=2AD,分别以AB、CD、AD为边向精英家教网梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的数量关系式为
 
,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在上图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=8.作△PQR使得∠R=90°,点H在边QR上,点D,E在边PR上,点G,F在边PQ上,那么△PQR的周长等于
54+26
3
54+26
3

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科目:初中数学 来源: 题型:

勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣,如图所示,AB为Rt△ABC的斜边,四边形ABGM,APQC,BCDE均为正方形,四边形RFHN是长方形,若BC=3,AC=4,则图中空白部分的面积是
60
60

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科目:初中数学 来源:2011年河北省中考模拟试卷数学卷 题型:填空题

勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB= 4.作△PQR使得∠R=90°,点H在边QR上,点D,E在边PR上,点G,F在边_PQ上,那么APQR的周长等于   ▲  

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