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    如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是劣弧BC的中点，过点P作⊙O的切线交AB延长线于点D．
    （1）求证：DP∥BC；
    （2）求DP的长．
    （1）证明：连接AP，
    ∵AB=AC，
    ∴
    AB
    =
    AC
    ，
    又∵P是劣弧BC的中点，
    ∴
    BP
    =
    CP
    ，…（1分）
    ∴
    ABP
    =
    ACP
    ，
    ∴AP为⊙O的直径，
    又∵DP为⊙O的切线，
    ∴AP⊥DP，…（2分）
    过点A作AM⊥BC于点M，
    ∴M为BC中点，
    ∴AM必过圆心O，
    即：A，M，O，P四点共线，
    ∴DP∥BC．…（3分）

    （2）∵在Rt△AMB中，BM=
    1
    2
    BC=
    1
    2
    ×12=6，
    ∴AM=
    		AB2-BM2
    =
    		102-62
    =8，
    ∴tan∠BAM=
    BM
    AM
    =
    3
    4
    ，
    在Rt△OMB中，设OB=r，
    则由勾股定理得：r2=（8-r）2+62，
    解得：r=
    25
    4
    ，
    ∴AP=
    25
    2
    ，…（5分）
    在Rt△APD中，DP=AP•tan∠DAP=
    25
    2
    ×
    3
    4
    =
    75
    8
    ．…（6分）
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
    （1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；
    （2）如图二，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
    （3）如图三，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：PA是半圆O1的切线．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＞DC，若腰DC上有点P，使AP⊥BP，则这样的点（　　）
    A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，AB是半圆的直径，CD是这个半圆的切线，C是切点，且∠ACD=30°，下列四个结论中不正确的是（　　）
    A．AB=2ACB．AB2=AC2+BC2
    C．BC=
    		3
    AC    		D．AB=
    		2
    BC

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB=60°，AC=2，那么CD的长为______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，已知正方形纸片ABCD的边长为4，⊙O的半径为1，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与⊙O相切于点A′，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    （5二二9•朝阳）如图，⊙O是Rt△6BC的外接圆，点O在6B上，BD⊥6B，点B是垂足，OD∥6C，连接CD．
    求证：CD是⊙O的切线．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：正方形ABCD的边长为4，⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连接TO交⊙O于点S．

    （1）如图1，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD内部时，连接DT、DS．
    ①试判断线段DT、DS的数量关系和位置关系；
    ②求AS+AT的值；
    （2）如图2，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时，连接DT、DS．求AS-AT的值；
    （3）如图3，延长DA到点E，使AE=AD，当⊙O经过A、E两点时，连接ET、ES．根据（1）、（2）计算，通过观察、分析，对线段
    AS、AT的数量关系提出问题并解答．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，AC=3
    		3
    ，DC=3，O是边AB上一动点（O与点A和B不重合），以OA为半径的⊙O与AB相交于点E．
    （1）若⊙O经过点D，求证：BC与⊙O相切；
    （2）试求在（1）中⊙O的半径OA的长度；
    （3）请分别写出⊙O与BC所在直线相交和相离时OA的取值范围．

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