Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10．
（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ABC的平分线交AD于点E，点F为边CD上任意一点，且△ABE∽△DEF，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据作角平分线的方法作出∠ABC的平分线即可；
（2）由四边形ABCD是矩形，得到∠ABC=∠A=∠D=90°，由于BE平分∠ABC，于是得到△ABE是等腰直角三角形，由△ABE∽△DEF，得到△DEF是等腰直角三角形，于是得出结论．

解答 解：（1）如图1所示，线段AE即为所求：

（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=∠D=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=6，
∵AD=10，
∴DE=4，
∵△ABE∽△DEF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE=4．

点评 此题主要考查了矩形的性质，尺规作图，相似三角形的性质，角平分线的性质，熟练利用相似三角形的性质定理是解题的关键．