Question

如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=

3

，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理,垂径定理

专题：证明题

分析：（1）连结OC，根据垂径定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判断OB为线段AC的垂直平分线，所以BA=BC，然后利用“SSS”证明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，则∠OCB=90°，于是可根据切线的判定定理得BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△OAB中，根据勾股定理计算出OB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=

3

OB=2

3

；在Rt△PBD中，BD=OB-OD=1，根据勾股定理计算出PD=

13

，然后利用正弦的定义求sin∠BPD的值．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵AC⊥OB，
∴AM=CM，
∴OB为线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，
在△OAB和△OCB中

OA=OC OB=OB BA=BC

，
∴△OAB≌△OCB（SSS），
∴∠OAB=∠OCB，
∵OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
故BC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=

3

，
∴OB=

AB2+OA2

=2，
∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，
∵PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，
在Rt△PBO中，OB=2，
∴PB=

3

OB=2

3

，
在Rt△PBD中，BD=OB-OD=2-1=1，PB=2

3

，
∴PD=

PB2+BD2

=

13

，
∴sin∠BPD=

BD

PD

=

1

13

=

13

13

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理和全等三角形的判定与性质．