Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．
（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；
（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切？若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵AB=AC，M为BC中点
∴AM⊥BC
在Rt△ABM中，AB=10，BM=8∴AM=6．（1分）
当⊙O与⊙A相外切
可得（t+3）²=（8-t）²+6²解得t=

91

22

（3分）
当⊙O与⊙A相内切
可得（t-3）²=（t-8）²+6²解得t=

91

10

（5分）
∴当t=

91

22

或t=

91

10

时，⊙O与⊙A相切．
（2）存在
当点O在BM上运动时（0＜t≤8））
可得（8-t）²+6²=（8-t+3）²解得t=

7

2

（8分）
此时半径r=

9

2

当点O在MC上运动时（8＜t≤16））
可得（t-8）²+6²=（t-8+3）²解得t=

25

2

（10分）
此时半径r=

9

2

当t=

7

2

或t=

25

2

时，r=

9

2

，⊙O与直线AM相切并且与⊙A相外切．