Question

18．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于第二、第四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过A作AH⊥y轴，垂足为H，AH=4，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠AOH=$\frac{4}{3}$求出AH的长度，由勾股定理可求出OH的长度即可求出△AHO的周长．
（2）由（1）可知：点A的坐标为（-4，3），点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，从而可求出k的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式中求出m的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出该一次函数的解析式．

解答 解：（1）∵AH⊥y轴于点H，
∴∠AHO=90°，
∴tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，AH=4，
∴OH=3，
∴由勾股定理可求出OA=5，
∴△AHO的周长为3+4+5=12
（2）由（1）可知：点A的坐标为（-4，3），
把（-4，3）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-12
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{12}{x}$
∵把B（m，-2）代入反比例函数y=-$\frac{12}{x}$中
∴m=6，
∴点B的坐标为（6，-2）
将A（-4，3）和B（6，-2）代入y=ax+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-4a+b}\\{-2=6a+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，解题的关键是求出点A与B的坐标，本题属于中等题型．