Question

9．如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于A、D，CO的延长线交⊙O于M，连BD、DM．
（1）求证：BD∥CM；
（2）若sin∠MCD=$\frac{3}{5}$，求cos∠BDM的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，根据切线的性质得OA⊥AC，OD⊥CD，易证得Rt△OAC≌△Rt△ODC，则∠AOC=∠DOC，由圆周角定理得∠AOD=2∠OBD，而∠OBD=∠ODB，所以∠AOC=∠DOC=∠OBD=∠ODB，则可判断CM∥BD，
（2）由CM∥BD，所以∠BDM=∠M，而∠DOC=2∠M，则∠DOC=2∠BDM，即∠B=2∠BDM，从而求得∠AOC=2∠BDM，作OE平分∠AOC，交AC于E，作EF⊥OC，得出EF=AE，OA=OF，∠AOE=∠BDM，根据已知设AC=4x，OC=5x，则OA=3x，根据勾股定理求得AE和OA的关系，进而即可求得cos∠BDM．

解答 证明：（1）连结OD，如图，
∵CA、CD分别与⊙O相切于A、D，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
在Rt△OAC和△Rt△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAC≌△Rt△ODC（HL），
∴∠AOC=∠DOC，
∴∠AOD=2∠AOC，
∵∠AOD=2∠OBD，
∴∠AOC=∠OBD，
∴BD∥CM；

（2）∵CM∥BD，
∴∠BDM=∠M，
∵OD=OB=OM，
∴∠ODM=∠OMD，∠ODB=∠B
∴∠DOC=2∠BDM，
∴∠B=2∠BDM．
∵∠AOC=∠B，
作OE平分∠AOC，交AC于E，作EF⊥OC，
∴EF=AE，OA=OF，∠AOE=∠BDM，
∴F在圆上，
设AE=EF=y，
∵sin∠MCD=sin∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{3}{5}$，
∴设AC=4x，OC=5x，则OA=3x，
在RT△EFC中，EC=4x-y，CF=5x-3x=2x，
∴（4x-y）²=y²+（2x）²，
解得，y=$\frac{3}{2}$x，
∴OE=$\sqrt{{OA}^{2}{+AE}^{2}}$=$\sqrt{{（3x）}^{2}{+（\frac{3}{2}x）}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$x，
∴cos∠BDM=cos∠AOE=$\frac{OA}{OE}$=$\frac{3x}{\frac{3\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形等，也考查了圆周角定理．作出辅助线构建直角三角形是关键．