Question

1．满足下列两个条件的正整数n的个数为1000．
（1）对所有的自然数，x，x²-2001x+n≥0；
（2）存在自然数x₀，使x₀²-2002x₀+n＜0．

Answer 1

分析 只从不等式本身难以求解，两个条件均为一元二次不等式，可以根据它们所对应的二次函数图象在坐标系中的位置情况，构造二次函数探求解决．

解答 解：记y₁=x²-2001x+n，其图象（抛物线）的开口向上，
由条件（1）知，抛物线有一点在x轴上或抛物线在x轴上方，
∴△₁=（-2001）²-4n≤0，
∴n≥1001000.25；①
记y₂=x²-2002x+n，其图象（抛物线）的开口向上，
由条件（2）知，抛物线一部分在x轴的下方，它与x轴有两个交点，
∴△₂=（-2002）²-4n＞0，
∴n＜1002001；②
由①、②可得，1001000.25≤n＜1002001，
∴满足以上两个条件的正整数n有1001001，1001002，…，1002000，共1000个．
故答案为：1000．

点评 本题主要考查了二次函数的最值，解决问题的关键是构造二次函数，借助二次函数图象的直观性，把一元二次不等式、一元二次方程的根的判别式联系联系起来，促进了问题的解决．