Question

已知抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点如图1，顶点为M．
（1）求a、b的值；
（2）设抛物线与y轴的交点为Q，且直线y=-2x+9与直线OM交于点D（如图1）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线

MQ

扫过的区域的面积；
（3）将抛物线平移，当顶点M移至原点时，过点Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点（如图2）．试探究：在y轴的负半轴上是否存在点P，使得∠EPQ=∠QPF？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将已知的两点的坐标代入二次函数的解析式利用待定系数法求得a、b的值即可；
（2）首先将求得的抛物线的解析式利用配方法求得其顶点坐标，然后求得D点的坐标，3然后利用平移的性质即可求得平行四边形MDNQ的面积；
（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x²，设EF的解析式为y=k x+3（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t）过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线通过证明△GEP∽△HFP得到比例式求得t值即可存在，否则就不存在．

解答：解：（1）抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点：
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得：

a=1 b=4

；

（2）由 （1）求得抛物线的解析式为y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
∴直线OD的解析式为y=

1

2

x，
由方程组

y=-2x+9 y= 1 2 x

，
解得：

x= 18 5 y= 9 5

，
∴D（

18

5

，

9

5

）
如图1，由平移的性质知，抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线

MQ

扫过的区域的面积即为平行四边形MDNQ的面积，连接QD，
∴S_{平行四边形MDNQ}=2S_△MDQ=2（S_△OQM+S_△OQD）=2×（

1

2

×3×2+

1

2

×3×

18

5

）=

84

5

；

（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x²，
设EF的解析式为y=k x+3（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t）过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，
垂足为G，H（如图2）．
∵∠EPQ=∠QPF，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴

GP

HP

=

GE

HF

，
∴

-xE

xF

=

yE-t

yF-t

=

kxE+3-t

kxF+3-t

∴2k x _E•x _F=（t-3）（x _E+x _F）
由

y=x2 y=kx+3

．
得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使∠EPQ=∠QPF．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法以及相似三角形的判定与性质等知识点，利用数形结合的数学思想得出是解题关键．