Question

19．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10$\sqrt{2}$海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为10+10$\sqrt{3}$海里/小时？

Answer 1

分析 根据题意画图，过O向AB作垂线，根据特殊角的三角函数值求得AC、BC的值，从而求得AB的值．根据追及问题的求法求甲船追赶乙船的速度．

解答 解：如图：乙沿南偏东30°方向航行则∠DOB=30°，甲沿南偏西75°方向航行，则∠AOD=75°，
当航行1小时后甲沿南偏东60°方向追赶乙船，则∠2=90°-60°=30°．
∵∠3=∠AOD=75°，
∴∠1=90°-75°=15°，
故∠1+∠2=15°+30°=45°．
过O向AB作垂线，则∠AOC=90°-∠1-∠2=90°-15°-30°=45°，
∵OA=10 $\sqrt{3}$，∠OAB=∠AOC=45°，
∴OC=AC=OA•sin45°=10 $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10．
在Rt△OBC中，∠BOC=∠AOD+∠BOD-∠AOC=75°+30°-45°=60°，
∴BC=OC•tan60°=10 $\sqrt{3}$，
∴AB=AC+BC=10+10 $\sqrt{3}$．
因为OC=10海里，∠B=30°，所以OB=2OC=2×10=20，
乙船从O到B所用时间为20÷10=2小时，
由于甲从O到A所用时间为1小时，则从A到B所用时间为2-1=1小时，
甲船追赶乙船的速度为10+10 $\sqrt{3}$海里/小时．

点评 本题考查解直角三角形-方向角问题、勾股定理等知识，结合航海中的实际问题，转化为解直角三角形的相关知识，体现了数学应用于实际生活的思想．