Question

已知点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）为抛物线y=ax²+bx+c上的两点，过点E、F分别作x轴的垂线，分别交x轴于点B、D，交直线y=2ax+b于点A、C，设S为直线AB、CD与x轴、直线y=2ax+b所围成图形的面积．
（1）当a=1，b=-2，c=3时，计算：①当x₁=3，x₂=5时，求y₁、y₂、S；②当x₁=-2，x₂=-1时，求y₁、y₂、S；通过以上的计算，猜想S与y₁-y₂的数量关系；
（2）当抛物线y=ax²+bx+c在x轴上方，且点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）在抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的同侧（点E在点F的左侧）时（如图1），（1）中的结论是否仍然成立？请说明你的判断．
（3）如果将（2）中的“同侧”改为“异侧”（如图2），其他条件不变，并设M为直线y=2ax+b与x轴的交点，S₁=S_△AMB，S₂=S_△CMD，求S₁、S₂与y₁、y₂的数量关系（直接写出答案）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）把a、b、c的值代入得到抛物线解析式，然后求出抛物线的对称轴解析式，把a、b的值代入直线求出直线解析式，①把x₁、x₂的值代入进行计算即可求出y₁、y₂的值，再根据点E、F在对称轴同侧，四边形ABCD是梯形，然后利用直线解析式求出AB、CD的长度，再根据梯形的面积公式列式进行计算即可求出S；②方法与①相同；然后根据所求数据即可得到数量关系；
（2）把点E、F坐标代入抛物线求出y₁、y₂，再根据直线解析式求出AB、CD的长度，然后根据点E、F在对称轴同一侧，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式列式计算求出S，即可得解；
（3）同（2）求出y₁、y₂，然后根据点E、F在对称轴异侧，分别求出S₁，S₂，根据数据关系即可得解．

解答：解：（1）当a=1，b=-2，c=3时，抛物线解析式为y=x²-2x+3，
对称轴为直线x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
直线AC的解析式为y=2x-2，
①当x₁=3，x₂=5时，y₁=3²-2×3+3=9-6+3=6，
y₂=5²-2×5+3=25-10+3=18，
AB=2×3-2=6-2=4，
CD=2×5-2=10-2=8，
S=

1

2

（4+8）×（5-3）=

1

2

×12×2=12；
②当x₁=-2，x₂=-1时，y₁=（-2）²-2×（-2）+3=4+4+3=11，
y₂=（-1）²-2×（-1）+3=1+2+3=6，
AB=|2×（-2）-2|=|-4-2|=6，
CD=|2×（-1）-2|=|-2-2|=4，
S=

1

2

（6+4）×[（-1）-（-2）]=

1

2

×10×1=5；
∵18-6=12，11-6=5，
∴点E、F都在对称轴左侧，S=y₁-y₂；
点E、F都在对称轴右侧，S=y₂-y₁；

（2）成立．理由如下：
由题意得，y₁=ax₁²+bx₁+c，
y₂=ax₂²+bx₂+c，
所以，y₂-y₁=（ax₂²+bx₂+c）-（ax₁²+bx₁+c），
=a（x₁+x₂）（x₂-x₁）+b（x₂-x₁），
=（x₂-x₁）[a（x₁+x₂）+b]，
AB=2ax₁+b，CD=2ax₂+b，
所以，S=

1

2

[（2ax₁+b）+（2ax₂+b）]×（x₂-x₁），
=

1

2

[2a（x₁+x₂）+2b）]×（x₂-x₁），
=（x₂-x₁）[a（x₁+x₂）+b]，
所以，S=y₂-y₁；

（3）由（2）得，y₁-y₂=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
∵直线AC的解析式为y=2ax+b，
∴点M的坐标为（-

b

2a

，0），
∴S₁=S_△AMB=

1

2

[-（2ax₁+b）]×（-

b

2a

-x₁）=

1

4a

（2ax₁+b）²，
S₂=S_△CMD=

1

2

（2ax₂+b）×[x₂-（-

b

2a

）]=

1

4a

（2ax₂+b）²，
S₁-S₂=

1

4a

（2ax₁+b）²-

1

4a

（2ax₂+b）²，
=

1

4a

（2ax₁+b+2ax₂+b）（2ax₁+b-2ax₂-b），
=

1

4a

[2a（x₁+x₂）+2b]•2a（x₁-x₂），
=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
∴S₁-S₂=y₁-y₂．

点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了抛物线上的点与直线上点的坐标特征，梯形的面积与三角形的面积，易错点在于要注意分点E、F都在对称轴的左侧与右侧，以及两侧时的线段AB、CD的长短不同，求面积时要进行相应的变化处理．