Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l₁、l₂、l₃、l₄上，这四条直
线中相邻两条之间的距离依次为h₁、h₂、h₃(h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0)．
(1)求证：h₁＝h₂；
(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h₁＋h₂)²＋h₁²；
(3)若h₁＋h₂＝1，当h₁变化时，说明正方形ABCD的面积S随h₁的变化情况．

Answer 1

（1）过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，证△ABE≌△CDG即可.
（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h₁、h₁+h₂,四边形EFGH是边长为h₂的正方形，
所以.
(3)由题意，得 所以

又    解得0＜h₁＜
∴当0＜h₁＜时，S随h₁的增大而减小；
当h₁=时，S取得最小值；
当＜h₁＜时，S随h₁的增大而增大.

解析