Question

【题目】（1）如图①，在等边三角形ABC内，点P到顶点A，B，C的距离分别是3，4，5，则∠APB=　 ，由于，PB，PC不在同一三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60o到处，连接，此时，≌　 　，就可以利用全等的知识，进而将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数；

（2）请你利用第（1）题的解答方法解答：如图②，△ABC中，，D、E为BC上的点，且，求证：；

（3）如图③，在△ABC中，，若以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形时，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）150，；（2）见解析；（3）BE＝1+或2+

【解析】

（1）（1）将△ABP绕顶点A旋转到△AB\P处，△ABP≌△ABP\；进一步说明∠PAP1=60°，再利用等边三角形的判定得出△AP P1为等边三角形，即可得出∠APP'的度数;由勾股定理的逆定理可得∠PP'C=90°，即可得出答案；

（2）把绕点顺时针旋转，得到．连接，；

再由"SAS"得到，可得DE=DG，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，用勾股定理证明即可；

（3）将绕点顺时针旋转，可得，然后根据全等三角形的性质和已知条件说明，可得DF=DE，由以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，分情况讨论，由直角三角形的性质可求解即可.

（1）解：（1）将△ABP绕顶点A旋转到△AB\P处，

∴△ABP≌△ABP\

∴AB=AC，AP=AP\，∠BAP=∠CAP\

∴∠BAC=∠PAP\=60°

∴△APP\是等边三角形

∴∠APP\=600

∵P\C=PB=4，PP'=PA=3，PC=5，

∴PC2=25=P\P2+P\C2=9+16

∴∠PP\C=90°

∴APP\C是直角三角形，

∴∠APB=∠AP\C=∠APP\∠LP\PC=60°+90°=150°

故答案为：150，△ABP

150，

（2）如图2，把绕点顺时针旋转，得到．连接，

则．

，，．

，．

，

在和中，

，

．

，

又，

，即；

（3）如图3，将绕点顺时针旋转，得到，，

，，，

，，

，

，，

，且，，

，

以、、为边的三角形是直角三角形，

以、、为边的三角形是直角三角形，是直角三角形，

若，且，，，

，

，

，

若，且，，，

，

，

，

∴ 综上所述，BE＝1+或2+