Question

8．如图，已知二次函数y=ax²+bx-5（a，b是常数，a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．
（1）若a＜5，试证明抛物线的对称轴一定在y轴的右侧．
（2）若点B的坐标为（5，0）．
①求a、b的值及t的取值范围． 
②求当t为何值时，∠PCQ=90°．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=ax²+bx-5得到b=a-5，再利用抛物线的对称轴方程得到x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5-a}{2a}$，然后根据0＜a＜5可判断$\frac{5-a}{2a}$＞0，所以此时抛物线的对称轴一定在y轴的右侧；
（2）①把A和B点坐标代入y=ax²+bx-5中可得到关于a和b的方程组，然后解方程组可得到a和b的值，从而得到二次函数关系式为y=x²-4x-5，利用配方法求出抛物线的顶点坐标为（2，-9），再利用图象可判断当t＞-9时，动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点；
②直线y=t交y轴于点D，连接PC、CQ，如图，设点Q的坐标为（m，t）（m＞0），利用抛物线的对称性可得点P的坐标为（-m+4，t），分类讨论：（Ⅰ）当t＞-5时，点D在点C上方，把Q（m，t）代入解析式得到t+5=m²-4m，则CD=t+5，DQ=m，DP=m-4，再证明△QCD∽△CDP，利用相似比得到$\frac{m}{t+5}$=$\frac{t+5}{m-4}$，整理得（t+5）²=m²-4m，则（t+5）²=t+5，解得t₁=-5（不合，舍去），t₂=-4；（Ⅱ）当t=-5时，动直线y=t经过点C，不合题意；（Ⅲ）当t＜-5时，点D在C下方，∠PCQ＜∠DCQ＜90°．

解答 （1）证明：∵A（-1，0）在抛物线上，
∴a-b-5=0，
∴b=a-5，
∴抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5-a}{2a}$，
∵0＜a＜5，
∴2a＞0，5-a＞0，
∴$\frac{5-a}{2a}$＞0，
∴此时抛物线的对称轴一定在y轴的右侧；
（2）解：①∵A（-1，0），B（5，0）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b-5=0\\ 25a+5b-5=0\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴二次函数关系式为y=x²-4x-5，
∵y=（x-2）²-9，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-9），
∴当t＞-9时，动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q；
②直线y=t交y轴于点D，连接PC、CQ，如图，设点Q的坐标为（m，t）（m＞0），
∵P、Q关于直线x=2对称，
∴点P的坐标为（-m+4，t），
（Ⅰ）当t＞-5时，点D在点C上方，如图1，
∵Q（m，t）在抛物线上，
∴t=m²-4m-5，即t+5=m²-4m，
∵t＞-5，
∴m＞4，
∴CD=t+5，DQ=m，DP=m-4，
∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，
∴∠QCD=∠DPC，
又∠PDC=∠QDC=90°，
∴△QCD∽△CDP，
∴$\frac{DQ}{DC}$=$\frac{DC}{PD}$，即$\frac{m}{t+5}$=$\frac{t+5}{m-4}$，整理得（t+5）²=m²-4m，
∴（t+5）²=t+5，解得t₁=-5（不合，舍去），t₂=-4；
（Ⅱ）当t=-5时，动直线y=t经过点C，∠PCQ不能为90°；
（Ⅲ）当t＜-5时，点D在C下方，如图2，P、Q都在y轴右则，此时∠PCQ＜∠DCQ＜90°．
综上所述，当t=-4，∠PCQ=90°．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比计算线段的长．