Question

【题目】如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．

（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；

（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；

（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1) 2+2；（2）证明见解析；（3）BE=DG+AE；理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出AB，得出BC，即可得出结果；

（2）连接AF，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出△ABD是等腰直角三角形，得出∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由ASA证明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，证出△AEF是等腰直角三角形，得出AF=AE，即可得出结论；

（3）作DH⊥DE交BE于H，先证明△ADE≌△BDH，得出DH=DE，AE=BH，证出△DHE是等腰直角三角形，得出∠DEH=45°，∠3=45°，由翻折的性质得出DE=GE，∠3=∠4=45°，证出DH=GE，DH∥GE，证出四边形DHEG是平行四边形，得出DG=EH，即可得出结论．

试题解析：（1）如图1所示：

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AE=CE，∠AEB=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴DE=AC=AE，

∴AC=2DE=2，AE=1，

∴AB=，

∴BC=，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2；

（2）连接AF，如图2所示：

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，AD=BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠3=22.5°，

∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°，

∴∠1=∠3=22.5°，

∵DF平分∠ABD，

∴∠ADF=∠BDF，

在△ADF和△BDF中，

，

∴△ADF≌△BDF（SAS），

∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，

∴∠EAF=∠1+∠2=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE，

∵DE=AE，

∴BF=DE；

（3）BE=DG+AE；理由如下：

作DH⊥DE交BE于H，如图3所示：

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，

∴∠1=∠2，

∴∠ADE=90°-∠ADH=∠BDH，

在△ADE和△BDH中，

，

∴△ADE≌△BDH（ASA），

∴DH=DE，AE=BH，

∴△DHE是等腰直角三角形，

∴∠DEH=45°，

∴∠3=90°-∠DEH=45°，

∵△ACD翻折至△ACG，

∴DE=GE，∠3=∠4=45°，

∴∠DEG=∠EDH=90°，DH=GE，

∴DH∥GE，

∴四边形DHEG是平行四边形，

∴DG=EH，

∴BE=EH+BH=DG+AE．