Question

在一条大的河流中有一形如三角形的小岛，如图，岸与小岛有一桥相连，现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点，水利部门在岸边设立了一个观察站，每天有专人从观察站步行去三个取样点取样，然后带去化验
（1）请在图中画出三个取样点的位置，使得每天取样所用时间最短．
（2）若A、B皆是沿DF、DE作得的对称点，请证明：为什么CGH的周长最小．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）设桥与小岛的连接处为C点，作C点的关于DF对称点A，作C点的关于DE对称点B，连接AB，交DF于G，交DE于H，则C、G、H就是所求的点；此时△CGH的周长最小，使每天取样所用的时间最短．
（2）在DF、DE上分别任取一点M、N，连接AM、CM、CN、BN、MN，根据轴对称的性质得出AG=GC，CH=HB，AM=CM，CN=BN，从而得出△CGH的周长=AB，△CMN的周长=AM+MN+NB，根据两点之间线段最短可知AM+MN+NB＞AB，即可求得结论．

解答：解：（1）如图，设桥与小岛的连接处为C点，

作C点的关于DF对称点A，作C点的关于DE对称点B，连接AB，交DF于G，交DE于H，则C、G、H就是所求的点；此时△CGH的周长最小，使每天取样所用的时间最短．
（2）如图，在DF、DE上分别任取一点M、N，连接AM、CM、CN、BN、MN，

∵A、B皆是沿DF、DE作得的对称点，
∴AG=GC，CH=HB，AM=CM，CN=BN，
∴△CGH的周长=CG+GH+CH=AG+GH+HB=AB，△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+NB，
根据两点之间线段最短可知AM+MN+NB＞AB，
∴△CGH的周长最小．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质和两点之间线段最短是本题的关键．