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    如图，抛物线F：y=ax2+bx+c（a＞0）与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t个单位得到直线L2，设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC．
    （1）当a=
    1
    2
    ，b=-
    3
    2
    ，c=1，t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；
    （2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
    （3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）
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    分析：（1）根据a、b、c的值，可确定抛物线的解析式，进而可求出C点的坐标；根据t的值，可确定直线L2的解析式，联立抛物线的解析式即可得到A、B的坐标；根据A、B、C三点的坐标，可求出直线AC、BC的斜率，此时发现两条直线的斜率的乘积为-1，所以它们互相垂直，由此可判定△ABC是直角三角形；
    （2）根据抛物线的解析式可知：C点坐标为（0，c），那么直线L2的解析式为c+t，联立抛物线的解析式可得到关于x的方程，那么方程的两根即为A、B的横坐标，可由根与系数的关系求出AB的长；设抛物线的对称轴与L2的交点为F，根据抛物线的对称性知AF=BF即F是AB中点，若△ABC是直角三角形，则AB=2CF，由此可得到CF的表达式；设L2与y轴的交点为E，那么CE的长即为E、C纵坐标差的绝对值，EF的长即为抛物线对称轴方程的绝对值，在Rt△CEF中，根据勾股定理即可求出t的值；
    （3）若A′恰好在抛物线的对称轴上，那么AB=2AA′；而A、A′关于y轴对称，那么AA′=2A′E，即AB=2A′B=4A′E；根据抛物线的对称性易知CD=2A′E，那么A′B平行且相等于CD，即四边形A′BDC是平行四边形，由AB=4EA′可求出b的值，而CD=A′B=-
    b
    a
    ，平行四边形的高为t，根据平行四边形的面积计算方法即可求出四边形A′CDB的面积．
    解答：解：（1）当a=
    1
    2
    ，b=-
    3
    2
    ，c=1，
    y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x+1，
    当t=2时，
    A、B纵坐标为3，
    令y=3，解得x=-1或x=4，
    故A（-1，3），B（4，3），C（0，1），
    AC2=12+（3-1）2=5，BC2=42+（3-1）2=20，AB2=（4+1）2=25，
    ∴AC2+BC2=AB2，
    ∴AC与BC垂直，
    故△ABC是直角三角形．

    （2）设AB交y轴于E，交抛物线对称轴于M，则M为AB中点，连接CM；
    由方程c+t=ax2+bx+c得ax2+bx-t=0，
    设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得：精英家教网
    x1+x2=-
    b
    a
    ，x1x2=-
    t
    a
    ；
    AB=|x1-x2|=
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    		b2+4at
    a
    ；
    ∴CM=
    1
    2
    AB=
    		b2+4at
    2a
    ；
    在Rt△CEM中，CE=t，EM=|-
    b
    2a
    |；
    ∴t2+|-
    b
    2a
    |2=（
    		b2+4at
    2a
    ）2，即4a2t2-4at=0
    解得t=
    1
    a
    ；

    （3）因为点A关于y轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，
    精英家教网∴对称轴在y轴的右侧，a，b异号，
    ∴b＜0，且AB=4EA′；
    ∴
    		b2+4at
    a
    =-
    b
    2a
    ×4，
    解得b=-
    2
    		3
    3
    ；
    ∴CD=A′B=-
    b
    a
    ，
    ∴四边形A′CDB是平行四边形，
    则它的面积为-
    b
    a
    ×t=
    2
    		3
    3a2
    ．
    点评：此题主要考查了函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定和性质、抛物线的对称性、勾股定理以及平行四边形的判定和性质等重要知识点，综合性强，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    26、已知：如图，抛物线C1，C2关于x轴对称；抛物线C1，C3关于y轴对称．抛物线C1，C2，C3与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C1，C2，C3的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
    （1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9个点中，四个点可以连接成一个四边形，请你用字母写出下列特殊四边形：菱形
    AHBG
    ；等腰梯形
    HGEF
    ；平行四边形
    EGFM
    ；梯形
    DMHC
    ；（每种特殊四边形只能写一个，写错、多写记0分）
    （2）证明其中任意一个特殊四边形；
    （3）写出你证明的特殊四边形的性质．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）若直线y=x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
    （3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴的一个交点是A（-1，0），与y轴交于点B，直线x=1交x轴于点N．
    （1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
    （2）求经过B、M两点的直线的解析式，并求出此直线与x轴的交点C的坐标；
    （3）若点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请你探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使精英家教网以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）精英家教网．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
    （3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两交点是A（-1，0），B（3，0），则如图可知y＜0时，x的取值范围是（　　）
    A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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