Question

5．如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径$\widehat{DE}$，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先由矩形的性质可得：∠BCD=90°，然后根据CD=1，∠DBC=30°，可得BD=2CD=2，然后根据勾股定理可求BC=$\sqrt{3}$，然后由旋转的性质可得：BE=BD=2，然后再根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算扇形DBE的面积和三角形BCD的面积，然后相减即可得到图中阴影部分的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵CD=1，∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2，
由勾股定理得BC=$\sqrt{B{D}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，
∴BE=BD=2，
∵S_扇形DBE=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$=$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{3}$，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$•BC•CD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴阴影部分的面积=S_扇形DBE-S_△BCD=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选B．

点评 此题主要考查了矩形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$．