Question

14．如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于点G，则$\frac{EG}{CG}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形得出∠DEF=45°，再利用三角形全等得出EF=BE，进而得出△EGF～△BGC，利用相似三角形的性质得出BG•GF=EG•GC，进而得出GC=AE=$\sqrt{2}$，EG=1-GC=2-$\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC=1，
∵EC=BC，
∴∠CBE=∠BEC=67.5°，
∵EF⊥BE，
∴∠CEF=22.5°，
∵EC=BC=DC，
∴∠DEF=45°，∠EDC=67.5°，
∴△EFD是等腰三角形，
∴ED=EF，
∵△BEC和△DEC是等腰三角形，且BC=CE=CD，
∴BE=ED，
∴BE=EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠GBC=∠EBC-∠EBF=67.5°-45°=22.5°=∠CEF，
∵∠EGF=∠BGC，
∴△EGF∽△BGC，
∴BG•GF=EG•GC，
∵CE=AB=CB=1，
∴AE=$\sqrt{2}$-1，
∴EG=EC-GC=2-$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．