Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（Ⅰ）请写出图中一对全等的三角形________（写出一对即可）．
（Ⅱ）有下列结论：
①BG=GC；②AG∥CF；③S_△FGC=3；④图中与∠AGB相等的角有5个．
其中，正确结论的序号是________（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

Rt△ADE≌Rt△AFE    ①②
分析：（Ⅰ）根据翻折的性质可得AF=AD，∠AFE=90°，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AFE全等（或Rt△ABG和Rt△AFG全等）；
（Ⅱ）先求出DE、CE的长，从而得到EF，设BG=x，然后表示出GF，再求出CG、EG的长，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，从而得到BG=CG，判定①正确；再根据等边对等角的性质得到∠GCF=∠GFC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，从而求出∠GCF=∠AGB，根据同位角相等，两直线平行即可证明AG∥CF，判定②正确；先求出△CEG的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△FGC的面积为3.6，判定③错误；找出与∠AGB相等的角只有4个，判定④错误．
解答：（Ⅰ）∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
[或在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；]
（Ⅱ）∵CD=3DE，正方形ABCD的边长AB=6，
∴DE=×6=2，CE=CD-DE=6-2=4，
∴EF=DE=2，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴设FG=BG=x，
则EG=x+2，CG=BC-BG=6-x，
在Rt△CEG中，EG²=CG²+CE²，
即（x+2）²=（6-x）²+4²，
整理得，16x=48，
解得x=3，
∴CG=6-x=6-3=3，
∴BG=CG，故①正确；
∵FG=CG=3，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，
∴∠GCF=∠AGB，
∴AG∥CF，故②正确；
△CEG的面积=CE•CG=×4×3=6，
∵EF=2，FG=3，
∴S_△FGC=×6=3.6，故③错误；
与∠AGB相等的角有∠AGF、∠GCF、∠GFC、∠GAD共4个，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②．
故答案为：Rt△ADE≌Rt△AFE；①②．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，平行线的判定，以及等高的三角形的面积的比等于对应底边的比的应用，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．