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5.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=a,点E,F分别是边AB,AD上的动点,且AE+AF=a,则线段EF长度的范围是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a≤EF≤a.

分析 由在边长为a的菱形ABCD中,易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形,继而证得△ACE≌△DCF,继而证得△CEF是正三角形,继而可得当动点E运动到点B或点A时,CE的值最大,当CE⊥AB,即E为AB的中点时,EF的值最小.

解答 解:连接AC、CE、CF,如图所示:
∵四边形ABCD是边长为a的菱形,∠B=60°,
∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形,
∴AB=BC=CD=AC=AD,∠CAE=∠ACB=∠ACD=∠CDF=60°,
∵AE+AF=a,
∴AE=a-AF=AD-AF=DE,
在△ACE和△DCF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠CAE=∠CDF}\\{AC=DC}\end{array}\right.$,
∴△ACE≌△DCF(SAS),
∴∠ACE=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF=∠DCF+∠ACF,
∴∠ECF=∠ACD=60°,
∴△CEF是正三角形,
∴EF=CE=CF,
当动点E运动到点B或点A时,CE的最大值为a,
当CE⊥AB,即E为BD的中点时,CE的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$a,
∵EF=CE,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a≤EF≤a.

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.注意证得△ACE≌△DCF是解此题的关键.

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