Question

3．观察下列一组图形，其中，图1中共有6个三角形，图2中共有18个三角形，…，按此规律，则图8中三角形的个数是405．

Answer 1

分析 设第n个图形三角形的个数为a_n（n为正整数），根据图形可得出根据分层来数出三角形的个数，写出部分a_n的值，根据数值的变化找出变化规律“a_n=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）}{2}$”，依此规律即可解决问题．

解答 解：设第n个图形三角形的个数为a_n（n为正整数），
在图形中分层数三角形，
观察，发现规律：a₁=2×（2+1）=6，a₂=3×（3+2+1）=18，a₃=4×（4+3+2+1）=40，…，
∴a_n=（n+1）•$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）}{2}$．
当n=8时，a₈=$\frac{{9}^{2}×10}{2}$=405（个）．
故答案为：405．

点评 本题考查了规律型中得图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a_n=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）}{2}$”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的图形找出部分a_n的值，再根据数的变化找出变化规律是关键．