Question

如图，在矩形ABCD中，点H在对角线BD上．HC⊥BD，HC的延长线交∠BAD的平分线于点E．求证：CE=BD．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：证明题

分析：由矩形的性质可得∠DOC=2∠DAO，∠HCO=∠CAE+∠E，结合角平分线的定义可求得∠E=∠CAE，可证明CE=AC，结合矩形的性质可得CE=BD．

解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，∠BAD=90°，OA=OD，
∴∠HOC=2∠DAO，
又∵CH⊥BD，
∴∠HCO+∠HOC=90°，
∵∠HCO=∠CAE+∠E，
∴2∠DAO+∠CAE+∠E=90°，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAO+∠CAE=

1

2

∠BAD=45°，
∴2∠DAO+∠CAE+∠E=45°+∠DAO+∠E=90°，
∴∠DAO+∠E=45°，
又∵∠DAO+∠CAE=45°，
∴∠CAE=∠E，
∴CE=AC，
∴CE=BD．

点评：本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．