Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C：y＝ax2+bx与x轴的另一个交点为A（2，0），连接OM、AM，∠OMA＝90°．

（1）求抛物线C1的函数表达式；

（2）已知点D的坐标为（0，﹣2），将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△DOM与△MAF相似，求所有符合条件的抛物线C2的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）y＝（x﹣1）2+9或y＝﹣（x﹣1）2+4．

【解析】

（1）过M作MH⊥轴于H，可得OH＝AH＝MH＝OA＝1，则M（1，1），把点A（2，0）、M（1，1）代入y＝ax2+bx可解得，则抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+2x；

（2）分两种情况讨论：①当△MOD∽△MAF时，，即，解得AF＝2，则F（4，0）；②当△MOD∽△FAM时， ，即，解得AF＝1．则F（3，0）．设抛物线C2的函数表达式为．把点F（4.0）、F．（3.0）分别代入得m＝9，m＝4．从而求出符合条件的抛物线C2的函数表达式为或．

解：（1）由抛物线的对称性可得：OM＝AM．

∵∠OMA＝90°，

∴△OMA是等腰直角三角形，

过M作MH⊥工轴于H，

可得OH＝AH＝MH＝OA＝1．

∴M（1，1），

把点A（2，0）、M（1，1）代入y＝ax2+bx，可得

，

解得，

∴抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+2x．

（2）∵△OMA是等腰直角三角形，

∴∠MOA＝∠MAO＝45°，OM＝AM＝，

∴MOD＝∠MOA+∠AOD＝135°＝∠MAF．

①当△MOD∽△MAF时，

，

即

解得AF＝2，

∴F（4，0）；

②当△MOD∽△FAM时，

，

即，

解得AF＝1．

∴F（3，0）．

∵抛物线C1向上平移得到抛物线C2，

∴设抛物线C2的函数表达式为．

把点F（4.0）、F．（3.0）分别代入得m＝9，m＝4．

综上，所有符合条件的抛物线C2的函数表达式为或．