【题目】如图,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线C:y=ax2+bx与x轴的另一个交点为A(2,0),连接OM、AM,∠OMA=90°.
(1)求抛物线C1的函数表达式;
(2)已知点D的坐标为(0,﹣2),将抛物线C1向上平移得到抛物线C2,抛物线C2与x轴分别交于点E、F(点E在点F的左侧),如果△DOM与△MAF相似,求所有符合条件的抛物线C2的函数表达式.
【答案】(1)y=﹣x2+2x;(2)y=(x﹣1)2+9或y=﹣(x﹣1)2+4.
【解析】
(1)过M作MH⊥轴于H,可得OH=AH=MH=OA=1,则M(1,1),把点A(2,0)、M(1,1)代入y=ax2+bx可解得,则抛物线C1的函数表达式为y=﹣x2+2x;
(2)分两种情况讨论:①当△MOD∽△MAF时,,即,解得AF=2,则F(4,0);②当△MOD∽△FAM时, ,即,解得AF=1.则F(3,0).设抛物线C2的函数表达式为.把点F(4.0)、F.(3.0)分别代入得m=9,m=4.从而求出符合条件的抛物线C2的函数表达式为或.
解:(1)由抛物线的对称性可得:OM=AM.
∵∠OMA=90°,
∴△OMA是等腰直角三角形,
过M作MH⊥工轴于H,
可得OH=AH=MH=OA=1.
∴M(1,1),
把点A(2,0)、M(1,1)代入y=ax2+bx,可得
,
解得,
∴抛物线C1的函数表达式为y=﹣x2+2x.
(2)∵△OMA是等腰直角三角形,
∴∠MOA=∠MAO=45°,OM=AM=,
∴MOD=∠MOA+∠AOD=135°=∠MAF.
①当△MOD∽△MAF时,
,
即
解得AF=2,
∴F(4,0);
②当△MOD∽△FAM时,
,
即,
解得AF=1.
∴F(3,0).
∵抛物线C1向上平移得到抛物线C2,
∴设抛物线C2的函数表达式为.
把点F(4.0)、F.(3.0)分别代入得m=9,m=4.
综上,所有符合条件的抛物线C2的函数表达式为或.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,过点B作BD⊥AC于点D,BE平分∠ABD交AC于点E.
(1)求证:CB=CE;
(2)若∠CEB=80°,求∠DBC的大小.
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【题目】已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点,已知当x>1时,y1>y2;当0<x<1时,y1<y2.
(1)求一次函数的函数表达式;
(2)已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2,求△ABC的面积.
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【题目】如图,为⊙的内接三角形,为⊙的直径,在线段上取点(不与端点重合),作,分别交、圆周于、,连接,已知.
(1)求证:为⊙的切线;
(2)已知,填空:
①当__________时,四边形是菱形;
②若,当__________时,为等腰直角三角形.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,点E是AD上一动点(不与A、D重合),点F是CD上一动点,AE+CF=4,则△BEF面积的最小值为_____.
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【题目】某体育用品商店购进了足球和排球共20个,一共花了1360元,进价和售价如表:
足球 | 排球 | |
进价(元/个) | 80 | 50 |
售价(元/个) | 95 | 60 |
(l)购进足球和排球各多少个?
(2)全部销售完后商店共获利润多少元?
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【题目】《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》(按照成书先后顺序)是中国古典长篇小说四大名著.
(1)小黄从这4部名著中,随机选择1部阅读,求他选中《西游记》的概率.
(2)某初中拟从这4部名著中,选择2部作为课外阅读书籍,求《西游记》被选中的概率.
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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,以AD为直径作⊙O交AB于点F,连接DB交⊙O于点H,E是BC上的一点,且BE=BF,连接DE.
(1)求证:△DAF≌△DCE.
(2)求证:DE是⊙O的切线.
(3)若BF=2,DH=,求四边形ABCD的面积.
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