Question

16．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB、DB、AD交直线EC于E、F、G，且AG=2AF，求证：EB=BD．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出BC=CD，AB∥CD，AD∥BC，证出△AFG∽△DCG，得出对应边成比例$\frac{AG}{AF}=\frac{DG}{DC}$，由已知得出DG=2DC=2BC，由平行线证出△CBE∽△GDE，得出$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{DG}$=$\frac{1}{2}$，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴△AFG∽△DCG，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{DG}{DC}$，
∵AG=2AF，
∴DG=2DC=2BC，
∵AG∥BC，
∴△CBE∽△GDE，
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∴EB=BD．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．