Question

【题目】已知正方形内接于，点为上一点，连接、、．

(1)如图1，求证:∠DEC+∠BEC= 180°；

(2)如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF， M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证: DN⊥AF；

(3)如图3，在(2) 的条件下，连接OM，若AB=10，求OM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）；

【解析】

（1）连接BD，OC，得出∠BEC=45°，由圆周角定理可得出结论
（2）延长ED至G，使ED=DG，连接AG，证明△BFC≌△DEC，可得出BF=DE，证明△ABF≌△ADG，则∠BAF=∠DAC，证明DM∥AG，得出∠DNF=∠FAG=90°，则可得出结论；
（3）连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，设DE=x，则BE=7x，得出BD=5x，求出x=2，求出BK=KF=，由tan∠BCF=tan∠DCE=，求出CF，可求出TB=7，AM=4，则可求出OM的长．

解：（1）证明:连接BD，OC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A=90°，BC= CD，

∴BD为⊙O的直径，即∠DEB=90°，

∵OB= OD，

∴OC⊥BD，即∠BOC= 90°，

∴∠BEC=∠ BOC=45°，

∴∠DEC+∠BEC=∠DEB+∠BEC+∠BEC= 180°.

（2）证明:如图，延长ED至G，使ED=DG，连接AG，

∵CE⊥CF，∴∠ECF=90°，

∵∠CEF=45°，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∴CE= CF，

∵∠BCD=∠ECF=90°，

∴∠BCF=∠DCE，

∵BC=CD，

∴△BFC≌ODEC (SAS)，即BF=DE ，

∵DE=DG，

∴BF=DG，

∵四边形ABED为圆O的内接四边形，

∴∠ABE+∠ADE= 180°,

∴∠ADE+∠ADG=180°，

∴∠ABE=∠ADG，

∵AB=AD，

∴△ABF≌OADG (SAS)， 即∠BAF=∠DAG，

∵∠BAF+∠FAD=∠BAD=90°，

∴∠DAG+∠FAD=90°，即∠FAG= 90°.

∵M为AE的中点，

∴DM为△AEG的中位线，即DM// AG,

∴∠DNF=∠FAG=90°，即DN⊥AF．

（3）解：如图，连接BD，OC，过B作BK⊥CF的延长线于点K，

过点B作BT⊥AE于T，

由（1）知，则，

由（1）知BD为⊙O的直径，

在中，，

∵，

∴，

∴，即，

设DE=x，则BE=7x，

在中，，

∴，即，

∴，即，

∵，

∴，

∴，即，

由（2）知，

∴，即，

∴，即，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，∴，

∴，即，

∵为的中点，∴，

在中，．