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已知,如图,线段AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为点B、C.
(1)当AB=6,DC=2,BC=8时,点P在线段BC运动,不与点B、C重合.
①若△ABP与△PCD可能全等,请直接写出的值;
②若△ABP与△PCD相似,求线段BP的长.
(2)探究:设AB=a,DC=b,AD=c,那么当a、b、c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使AP⊥PD?

【答案】分析:(1)①题根据全等三角形的性质即可得出答案,②根据△ABP∽△PCD,利用其对应边成比例,将已知数值代入即可求出线段BP的长.
(2)题在一般情形下探究三条线段满足何种关系,才存在结论AP⊥PD,其探究的方法有多种,这里仅探讨顺着解第(1)题的思路,贯彻“特殊到一般”的思想,继续用相似三角形的知识拾阶而上来研究.首先,求出BC,再设存在这样的点P,且BP=x,则PC=-x,由AP⊥PD得,△ABP∽△PCD,则化简得.
解答:解:(1)∵△ABP≌△PCD,
∴AB=PC=6,
BP=CD=2,
==
②当△ABP∽△PCD,
=
=
解得BP=2,
当△ABP∽△DCP,
=
=
解得BP=6;
∴BP=2或BP=6;

(2)过D作DE⊥AB与E,得CD=BE=b,AE=a-b,
BC=DE==
设BP=x,
由(1)得△ABP∽△PCD,=
x2-x+ab=0,
若存在点P,则此方程有实数根,
∴△=c2-(a-b)2-4ab=c2-(a+b)2≥0,
∴c≥a+b
∴c≥a+b时,在直线BC上存在点P,AP⊥PD.
点评:本题可以假设存在,根据相似三角形的性质,利用比例式,找出P点.这是此题的突破点.
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①若△ABP与△PCD可能全等,请直接写出
BPPC
的值;
②若△ABP与△PCD相似,求线段BP的长.
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