Question

如图，抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，过点B作BC∥x轴交抛物线于C，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）连接OC，在直线OC的右侧的坐标平面上是否存在点M，使△MOC与△AOB相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出直线AC的解析式，作辅助线，求出PQ的长度；然后求出△PAC的面积；当0＜x＜2与2＜t＜4时，需要分别计算；
（3）如答图3所示，满足题意的点M有6个，分别为：
以OC为斜边的有2个：M₁，M₆；
以OC、OM为直角边的有2个：M₂，M₄；
以OC、CM为直角边的有2个：M₃、M₅．

解答：解：（1）根据题意，得

-2-2b+c=0 c=4

解得b=1，c=4
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+x+4．

（2）当y=4时，
-

1

2

x²+x+4=4，解得x₁=0，x₂=2，∴C（2，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，

-2k+b=0 2k+b=4

解得y=x+2．

①当0＜t＜2时，过点P作PE⊥x轴于E，交AC于Q
PQ=（-

1

2

t²+t+4）-（t+2）
=-

1

2

t²+2
S=S_△PAQ+S_△PCQ
=

1

2

PQ•AE+

1

2

PQ•OE=

1

2

PQ•AE=

1

2

（-

1

2

t²+2）×4
=-t²+4；
②当2＜t＜4时
同理可得S=S_△PAQ-S_△PCQ
=

1

2

PQ•AE-

1

2

PQ•EF=

1

2

PQ•AF
=

1

2

[（t+2）-（-

1

2

t²+t+4）]•4=

1

2

（

1

2

t²-2）]•4
=t²-4．
综上所述，S=

-t2+4(0＜t＜2) t2-4(2＜t＜4)

．

（3）存在．
M₁（2，0），M₂（2，-1），M₃（10，0）
M₄（8，-4），M₅（4，3），M₆（

16

5

，

12

5

）

点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形等知识点．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，注意分类讨论，避免漏解．