Question

在平面直角坐标系中，矩形ABCD与等边△EFG按如图①所示放置：点B、G与坐标原点O重合，F、B、G、C在x轴上，E、A、D三点同在平行于x轴的直线上．△EFG沿x轴向右匀速移动，当点G移至与点C重合时，△EFG即停止移动．在△EFG移动过程中，与矩形ABCD的重合部分的面积S（cm²）与移动时间t（s）的一部分函数图象是线段MN如图②所示（即△EFG完全进入矩形ABCD内部时的一段函数图象）
（1）结合图②，求等边△EFG的边长和它移动的速度；
（2）求S与t的函数关系式，并在图②中补全△EFG在整个移动过程中，S与t的函数关系式的大致图象；
（3）当△EFG移动（

3

+1）s时，E点到达P点的位置，一开口向下的抛物线y=

1

a

x2+bx，过P、O两点且与射线AD相交于点H，与x轴相交于点Q（异于原点）．请问a是否存在取某一值或某一范围，使OQ+PH的值为定值？如果存在，求出a值或a的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）此题的关键在于读懂图②的含义，首先能看出t值在（2～4）时，S是一个定值，可以得出两个含义：
1、当2≤t≤4时，△EFG在矩形ABCD内部，此时S的值为等边△EFG的面积，结合等边三角形的性质以及等边三角形的面积即可得到该三角形的边长；
2、当0≤t≤2时，△EFG与矩形的重叠部分的面积在时刻变化着，也就说明了这个过程中，点F从原位置运动到了点O的位置（即FG的长），可以根据这个条件来求△EFG的移动速度．
（2）首先抓住两个关键位置：①点E运动到y轴上时，②点F运动到y轴上时；那么此题可以分作三个阶段讨论：
1、当点B、E位于y轴两侧时（即0≤t≤1时），△EFG和矩形ABCD的重叠部分是个小直角三角形，它的两条直角边可以三角形的运动速度以及特殊角的正切值表示出来，则面积可求；
2、当点E、F位于y轴两侧时（即1＜t≤2时），△EFG和矩形ABCD的重叠部分是个不规则四边形，其面积可以由等边三角形减去小直角三角形的面积所得；
3、当△EFG完全处于矩形内部时，它们重叠的部分就是整个等边三角形，其面积是个定值（由图②所给的部分函数可得）．
（3）虽然题设的条件较为复杂，但思路并不难，可以先根据△EFG的移动时间求出点P的坐标，代入给出的新抛物线解析式中，可得到a、b的关系式；而点O、H以及P、Q这两组点都关于抛物线对称轴对称，可根据这个特点表示出点H、Q两点的坐标，则OQ、PH的长可得，那么再判断OQ+PH是否为定值，若是定值，再进一步求a的取值范围；
在求a的取值范围时，可以根据抛物线开口向下（抛物线解析式的二次项系数小于0）以及PH≥0（点P、H可能重合，此时新抛物线顶点位于直线AD上）这两个条件来解．

解答：解：（1）由图②可知，△EFG的面积为3

3

cm²；
设△EFG的边长为xcm，则其面积为：S_△EFG=

1

2

x•

3

2

x=3

3

，解得 x=2

3

（cm）；
由图②可以看出：当点F从原位置运动到点O处过程中，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积时刻在变化着，整个过程共运动了2s，所以有：
△EFG的移动速度：v=

2 3 cm

2s

=

3

m/s；
综上，等边△EFG的边长为2

3

cm，它的移动速度为

3

m/s．

（2）当点E运动到y轴上时，t=1s；当点F运动到y轴上时，t=2s；
∴分三个阶段讨论（如右图）：
①当0≤t≤1时，S=

1

2

3

t•（

3

×

3

t）=

3 3

2

t²；
②当1＜t≤2时，S_△ONF′=

1

2

•（2

3

-

3

t）•

3

（2

3

-

3

t）=

3 3

2

（2-t）²，
所以，重叠部分的面积为：S=S_{△E′F′G′}-S_△ONF′=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

）-

3 3

2

（2-t）²=3

3

-

3 3

2

（2-t）²；
③当2≤t≤4时，S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

）=3

3

；
综上，S=

3 3 2 t2 (0≤t≤1) - 3 3 2 (t-2)2+3 3  (1＜t≤2) 3 3  (2≤t≤4)

，图象如下：


（3）∵△EFG移动（

3

+1）秒，速度为每秒

3

cm，
∴EP=

3

（

3

+1）=3+

3

，
∴AP=3+

3

-

3

=3，
∴点P（3，3），
∵点P在抛物线上，
∴ab=a-3，
∵抛物线y=

1

a

x²+bx的对称轴为直线x=-

b

2× 1 a

=-

ab

2

，
∴与x轴的另一个交点Q的坐标为（-ab，0），
抛物线开口向下，a＜0，P、H关于x=-

ab

2

对称，
当点H在点P右侧时，
PH=2（-

ab

2

-3）=-ab-6=-（a-3）-6=-a+3-6=-a-3，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）-a-3=-（a-3）-a-3=-a+3-a-3=-2a，
此时OQ+PH不是定值，舍去；
当点H在点P左侧时，
PH=2（3+

ab

2

）=ab+6，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）+（-a-3）=-ab+ab+6=6，
∴OQ+PH的定值为6，
∵PH≥0，
∴ab+6≥0，
即a-3+6≥0，
解得a≥-3，
又∵a＜0，
∴-3≤a＜0，
综上，OQ+PH的定值为6，此时相应的a的取值范围是-3≤a＜0．

点评：此题主要考查的是分段函数问题，涉及了图形的平移、图形面积的解法、等边三角形的性质以及抛物线的性质（包括：二次函数图象与系数的关系以及抛物线的对称性）等重要知识点；（2）题中，要注意抓住图形运动过程中的关键位置，以便在分段讨论时做到“不重不漏”的要求；（3）题中，点P可能位于抛物线对称轴的左侧，也可能位于对称轴的右侧，这是容易漏解的地方．