Question

18、关于的一元二次方程x²+2x+k+1=0的实数解是x₁和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂＜-1且k为整数，求k的值．

Answer 1

分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b²-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k+1．再代入不等式x₁+x₂-x₁x₂＜-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．

解答：解：（1）∵方程有实数根，
∴△=2²-4（k+1）≥0，（2分）
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．（4分）

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k+1（5分）
x₁+x₂-x₁x₂=-2-（k+1）．
由已知，得-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2．（6分）
又由（1）k≤0，
∴-2＜k≤0．（7分）
∵k为整数，
∴k的值为-1和0．（8分）

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．