Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为A（2，2），O（0，0），B（8，0），C（6，2）．
（1）求等腰梯形AOBC的面积；
（2）试说明点A在以OB的中点D为圆心，OB为直径的圆上；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据四边形AOBC是等腰梯形，可得AC=4，OB=8，高=2．由此可根据梯形的面积公式求出其面积．
（2）可根据O，A，B的坐标，分别求出OA²，OB²，AB²，只要符合勾股定理，就能得出△OAB是直角三角形，且OB为斜边，也就得出所求的结论了．
（3）当△MOB与△AOB相似，那么△MOB也是个直角三角形．
第一种情况：OB是△MOB的斜边，那么M与C点重合，此时：M（6，2）；
第二种情况：OB是△MOB的直角边，且与OA相对应，那么可根据相似三角形求出BM的长，也就是M点的纵坐标，而M的横坐标就是B点的横坐标．
第三种情况：OB是△MOB的直角边，且与AB相对应，那么也是根据相似三角形求出BM的长，即M的纵坐标，然后B点的横坐标作为M的横坐标，就求出了M的坐标．
解答：解：（1）∵A（2，2），B（8，0），C（6，2），梯形AOBC是等腰梯形，
∴S_梯形=（上底+下底）×高=×（4+8）×2=12．

（2）连接AB，那么AB²=6²+（2）²=48，
根据A，B的坐标可知：OA²=2²+（2）²=16，
OB²=8²=64，因此三角形OAB是直角三角形，且OB为斜边．
∴OB=2AD，因此点A在圆D上．

（3）点M₁位于点C上时，△OM₁B与△OAB相似此时点M₁的坐标为M₁（6，2）．
过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂．
△OM₂B与△OAB相似，此时点M₂的坐标为M₂（8，8）．
过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃．
△OM₃B与△OAB相似此时点M₃的坐标为M₃（8，）．
点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，直角三角形的外接圆的圆心以及相似三角形的性质等知识点，要注意第（3）问中，要根据对应边的不同分别对三种相似关系进行讨论．