Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BC是⊙O切线；
（3）若AC=3，AB=5，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：（1）如图，作AD的中垂线l，直线l与线段AB的交点即为圆心O．以OA为半径、O为圆心作圆O．
（2）连接OD．欲证BC是⊙O切线，只需证明OD⊥BC即可．
（3）设圆O的半径为r．通过∠B的正弦的定义来求⊙O的半径．

解答：解：（1）如图所示．

（2）连接OD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC；
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°．
又OD是⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线．

（3）设圆O的半径为r．
∵AC=3，AB=5，
∴sinB=

AC

AB

=

OD

OB

=

r

AB-r

，即

3

5

=

r

5-r

，
解得r=

15

8

，即⊙O的半径长是

15

8

．

点评：本题考查了学生的运用基本作图的知识作复杂图的能力，以及切线的判定等知识点．本题中作图的理论依据是垂径定理．