Question

（2008•黄石）若实数a，b满足a+b²=1，则2a²+7b²的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据a+b²=1求出a的取值范围，再把代数式变形，然后结合结合函数的性质及b的取值范围求得结果．
解答：解：∵a+b²=1，
∴a=1-b²
∴2a²+7b²=2（1-b²）²+7b²=2b⁴+3b²+2=2（b²+）²+2-=2（b²+）²+，
∵b²≥0，
∴2（b²+）²+＞0，
∴当b²=0，即b=0时，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b²=1，
∴b²=1-a，
∴2a²+7b²=2a²+7（1-a）=2a²-7a+7=2（a-）²+，
∵b²≥0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
∴当a=1，即b=0时，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．
点评：此题比较复杂，是中学阶段的难点，综合性比较强，解答此题的关键是先求出b的取值范围，再把已知代数式变形后代入未知，把求代数式的最小值转化为求函数式的最小值，结合函数的性质及b的取值范围解答．