Question

用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n₁＜n₂＜n₃＜n₄…．
试求：n₁•n₂之值．

Answer 1

分析：先写出可能的四位数，然后可得出余数，然后根据它们加1，2，3都可能有余1的情形出现，而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，由此依次可得到最小及次小的n值，继而可得出答案．

解答：解：可能的四位数有9种：
1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．
其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．
1099=7×157，9091=7×1298+5，9109=7×1301+2，
9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，
9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．
即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．
即余数只有0，2，3，5，6五种．
它们加1，2，3都可能有余1的情形出现，
而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，
所以4是最小的n．
又∵加5，6有：（5+3）÷7=1余1，（6+2）÷7=1余1，而加7之后成为7，9，10，12，13、没有一个被7除余1、所以7是次小的n．
即n₁=4，n₂=7，
∴n₁×n₂=4×7=28．

点评：本题考查带余数的除法，难度较大，根根据题意写出可能的四位数并得出除以7后的余数是解答本题的突破口．