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已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0).

(1)求证:方程总有两个实数根;

(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值;

(3)在(2)的条件下,将关于的二次函数y= mx2+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请结合这个新的图象回答:当直线y=x+b与此图象有两个公共点时,b的取值范围.

(1)证明略;(2)m=1;(3)1<b<3,b>

【解析】

试题分析:(1)求出根的判别式总是非负数即可;

(2)由求根公式求出两个解,令这两个解是整数求出m即可;

(3)先求出A、B的坐标,再根据图像得到b的取值范围.

试题解析:(1)证明:∵m≠0,∴mx2+(3m+1)x+3=0是关于x的一元二次方程.

∴△=(3m+1)2-12m =(3m-1)2. ∵ (3m-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.

(2)【解析】
由求根公式,得x1=-3,x2=

∵方程的两个根都是整数,且m为正整数, ∴m=1.

(3)【解析】
∵m=1时,∴y=x2+4x+3.

∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A(-3,0)、B(-1,0).

依题意翻折后的图象如图所示.

当直线y=x+b经过A点时,可得b=3. 当直线y=x+b经过B点时,可得b=1. ∴1<b<3.

当直线y=x+b与y=-x2-4x-3 的图象有唯一公共点时,可得x+b=-x2-4x-3,

∴x2+5x+3+b=0, ∴△=52-4(3+b) =0,∴b=.∴b>

综上所述,b的取值范围是1<b<3,b>

考点:根的判别式,求根公式的应用,函数的图像.

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