Question

13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线y=ax²+bx-3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D
（1）①求抛物线的解析式；②求sin∠ACP的值
（2）设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，求出当这两个三角形面积之比为9：10时的m值；
③是否存在适合的m值，使△PCD与△PBD相似？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由直线解析式可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得a、b的值，则可求得抛物线解析式；
②过B作BE⊥x轴于点E，在Rt△ABE中可求得sin∠ABE，则可求得sin∠ACP；
（2）①用m可表示出C点坐标，则可表示出PC的长，利用其正弦值可表示出PD的长，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，则可用m表示DN和BM，由面积的比得到DC与BC的比，然后利用相似比可得到m的方程，可求得m的值；
③如图2，连接PB交x轴于Q，只有当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP，于是可证明QA=QB，设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4-t，利用勾股定理得到（4-t）²+3²=（t+2）²，解得t=$\frac{7}{4}$，则Q（$\frac{7}{4}$，0），再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{3}$，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-3}\end{array}\right.$得P点坐标，从而得到m的值．

解答 解：（1）①当y=0时，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，则A（-2，0），
当y=3时，$\frac{1}{2}$x+1=3，解得x=4，则B（4，3），
把A（-2，0），B（4，3）代入y=ax²+bx-3得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-3=0}\\{16a+4b-3=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3；
②过B作BE⊥x轴于点E，如图1，AE=4-（-2）=6，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵PC∥BE，
∴sin∠ACP=sin∠ABE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-3），则C（m，$\frac{1}{2}$m+1），BM=4-m，
∴PC=$\frac{1}{2}$m+1-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-3）=-$\frac{1}{2}$m²+m+4，
∵sin∠ACP=$\frac{PD}{PC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴PD=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$m²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（m-1）²+$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
当m=1时，线段PD长的最大值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，如图，
∵sinP=sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{DN}{PD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴DN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$m²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）=-$\frac{1}{5}$m²+$\frac{2}{5}$m+$\frac{8}{5}$，
∵DN∥BM，
∴$\frac{DC}{CB}$=$\frac{DN}{BM}$，
∵线段PC把△PDB分成两个三角形的面积之比为9：10，
∴当$\frac{DC}{CB}$=$\frac{DN}{BM}$=$\frac{9}{10}$，即$\frac{-\frac{1}{5}{m}^{2}+\frac{2}{5}m+\frac{8}{5}}{4-m}$=$\frac{9}{10}$，
整理得2m²-13m+20=0，解得m₁=$\frac{5}{2}$，m₂=4（舍去）；
当$\frac{DC}{CB}$=$\frac{DN}{BM}$=$\frac{10}{9}$，即$\frac{-\frac{1}{5}{m}^{2}+\frac{2}{5}m+\frac{8}{5}}{4-m}$=$\frac{10}{9}$，
整理得9m²-68m+128=0，解得m₁=$\frac{32}{9}$，m₂=4（舍去）；
综上所述，m的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{32}{9}$；
③存在．
如图2，连接PB交x轴于Q，
∵∠PDC=∠BDP，
∴当∠DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP，
而∠DPC=∠BAE，
∴∠BAE=∠ABP，
∴QA=QB，
设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4-t，
在Rt△BQE中，（4-t）²+3²=（t+2）²，解得t=$\frac{7}{4}$，则Q（$\frac{7}{4}$，0），
设直线BQ的解析式为y=px+q，
把B（4，3），Q（$\frac{7}{4}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4p+q=3}\\{\frac{7}{4}p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{4}{3}}\\{q=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BQ的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{25}{9}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{25}{9}$），
∴m=-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式，会通过解方程或方程组求函数与坐标轴的交点坐标和两个函数图象的交点坐标；会运用勾股定理、锐角三角函数和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质．