如图①.现有长度分别为a.b.1的三条线段．[加.减]图②所示为长为a+b的线段.请用尺规作出长为a-b的线段．[乘]在图③中.OA=a.OC=b.点B在OA上.OB=1.AD∥BC.交射线OC于点D．求证:线段OD的长为ab．[除]请用尺规作出长度为$\frac{a}{b}$的线段．[开方]任意两个有理数的和.差.积.商仍然是有理数.而开方运算则打开了� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．
【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a-b的线段．

【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．
求证：线段OD的长为ab．
【除】请用尺规作出长度为$\frac{a}{b}$的线段．
【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为$\sqrt{a+b}$的线段．
注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．

分析【加、减】根据线段和差定义即可画出图象．
【乘】根据平行线分线段成比例定理，即可解决问题．
【除】根据平行线分线段成比例定理，即可解决问题．
【开方】构造相似三角形，即可解决问题．

解答解：【加、减】如图①，线段AB长为a-b．

【乘】证明：∵AD∥BC，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OC}{OD}$，即$\frac{1}{a}$=$\frac{b}{OD}$．
∴OD=ab．

【除】如图②，OA=a，OC=b，点B在OC上，OB=1，BD∥AC，交OA于点D．
则OD=$\frac{a}{b}$．
证明：∵BD∥AC，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，
∴$\frac{OD}{a}$=$\frac{1}{b}$，
∴OD=$\frac{a}{b}$．

【开方】图③和图④中的MN均为$\sqrt{a+b}$．

理由：如图3中，BM是直径，BM=a+b，AM=1，AN⊥BM，
∵∠M=∠M，∠MAN=∠MNB=90°，
∴△MAN∽△MNB，
∴$\frac{MN}{MA}$=$\frac{BM}{MN}$，
∴MN²=a+b，
∴MN=$\sqrt{a+b}$．

如图4中，AB是直径，AB=a+b+1，
BM=1，MN⊥AB，
由△AMN∽△NMB，
∴$\frac{MN}{BM}$=$\frac{AM}{MN}$，
∴MN²=a+b，
∴MN=$\sqrt{a+b}$．

点评本题考查作图-设计应用、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

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