Question

【题目】（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是　 　（用含a的代数式表示）；

（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？

①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是　 　；

②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．

请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；

③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）a2；（2）①；②详见解析；③﹣1．

【解析】

（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝a，由勾股定理得到AD＝，于是得到S△ABC＝BCAD＝；

（2）①根据三角形的面积公式即可得到结论；

②补全图形如图2所示；

③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位线，得到PN＝EF，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴BD＝CD＝BC＝a，

∴AD＝，

∴S△ABC＝BCAD＝a2；

（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4，

∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，

∴a2＝4，

∴a2＝，

即该三角形边长的平方是；

②补全图形如图2所示；

③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，

∴PN是△GEF的中位线，

∴PN＝EF，

∵N为AB边上的中点，

∴BN＝AB＝1，

∵边长为2的正方形的面积＝4，

∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，

∴a2＝4，

∴a2＝，

即△GEF边长的平方是，

∴EF＝，

∴PN＝，

∵PN2＝BN2+BP2，

∴＝1+x2，

∴x2＝﹣1；

故答案为：（1）；（2）①；③．