Question

已知：关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x₁，x₂满足

1

x1

+

1

x2

=1+

1

m+2

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）方程总有两个不相等的实数根的条件是△＞0，由△＞0可推出m的取值范围．
（2）欲求m的值，先把代数式

1

x1

+

1

x2

变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求m的值．

解答：解：（1）△=[-（2m+1）]²-4（m²+m-2）．
=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9＞0
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根．

（2）解法一：
根据根与系数的关系有x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2．
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=1+

1

m+2

．
∴

2m+1

m2+m-2

=1+

1

m+2

．
整理得m²=4
解得m₁=2，m₂=-2
经检验m=-2是增根，舍去．
∴m的值为2．
解法二：
由原方程可得[x-（m-1）][x-（m+2）]=0
∴x₁=m+2，x₂=m-1
又∵

1

x1

+

1

x2

=1+

1

m+2

∴

1

m+2

+

1

m-1

=1+

1

m+2

∴m=2
经检验：m=2符合题意．
∴m的值为2．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别方法，根与系数关系的灵活运用等知识．根据一元二次方程的根与系数的关系把求m的问题转化为解方程的问题，是解决本题的关键．