Question

19．如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的一点，PG⊥BE，PH⊥BF，则PG+PH=4．

Answer 1

分析 过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，连接DF，如图，由矩形的性质得到AD=BC=9cm，CD=AB=3cm，∠C=∠ADC=90°．根据勾股定理得到CF=4，得到BF=BC-CF=AD-CF=5，根据矩形的性质得到EQ=DC=4．推出BE=BF，连接PB，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，连接DF，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=9cm，CD=AB=3cm，∠C=∠ADC=90°．
由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．
∵∠C=90°，∴DC²+CF²=DF²，
∴3²+CF²=（9-CF）²，
∴CF=4，
∴BF=BC-CF=AD-CF=5，
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB．
∴BE=BF，
连接PB，
∴S_△BEF=S_△BEP+S_△BPF，
即$\frac{1}{2}$BF•EQ=$\frac{1}{2}$BE•PG+$\frac{1}{2}$BF•PH=$\frac{1}{2}$BF•PG+$\frac{1}{2}$BF•PH，
∴PH+PG=EQ，
∴PG+PH=4．
即PG+PH的值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、三角形的面积的计算，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．