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    14．已知关于x的一元二次方程x2+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根，k为正整数．
    （1）求k的值；
    （2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
    （3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

    分析 （1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；
    （2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；
    （3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．

    解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程${x}^{2}+2x+\frac{k-1}{2}=0$有两个不相等的实数根．
    ∴$△={b}^{2}-4ac=4-4×\frac{k-1}{2}＞0$．
    ∴k-1＜2．
    ∴k＜3．
    ∵k为正整数，
    ∴k为1，2．
    （2）把x=0代入方程${x}^{2}+2x+\frac{k-1}{2}=0$得k=1，
    此时二次函数为y=x2+2x，
    此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（-2，0），B（1，3）
    由题意可设M（m，m+2），其中-2＜m＜1，
    则N（m，m2+2m），
    MN=m+2-（m2+2m）=-m2-m+2=-$（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$．
    ∴当m=-$\frac{1}{2}$时，MN的长度最大值为$\frac{9}{4}$．
    此时点M的坐标为$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

    （3）当y=$\frac{1}{2}$x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），
    把A（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x+b得b=1，
    当y=$\frac{1}{2}$x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．
    由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=-x2-2x
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$有一组解，此时$-{x}^{2}-\frac{5}{2}x-b=0$有两个相等的实数根，
    则$（\frac{5}{2}）^{2}-4b=0$所以b=$\frac{25}{16}$，
    综上所述b=1或b=$\frac{25}{16}$．

    点评 本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题．

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