Question

心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课的时间的变化而变化．讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力随时间的变化规律如下：

y＝

(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，为了达到较好的效果，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲完这道题目？

Answer 1

答案：
解析：

(1)当t＝5时，y＝195，当t＝25时，y＝205．∴讲课开始后第25分钟时学生注意力比讲课开始后第5分钟时更集中． 　　(2)当0＜t≤10时，y＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244，∴t＝10时，y有最大值240；当20＜t≤40时，函数y＝－7t＋380随t的增大而减小，∴t＝20时，y有最大值240，∴讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟． 　　(3)当0＜t≤10时，y＝－t2＋24t＋100＝180，得t1＝4，t2＝20(舍去)；当20＜t≤40时，y＝－7t＋380＝180，得t＝．而－4＝＝24＞24，∴教师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题目．

提示：

这是一道分段函数题，解题时需根据自变量的取值选择相应的函数关系式，并根据函数的增减性和方程的知识联合求解．