Question

我们给出如下定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
（1）若∠A=2∠B，且∠A=60°，求证：a²=b（b+c）．
（2）如果对于任意的倍角三角形ABC（如图），其中∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

Answer 1

（1）证明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a²+b²=c²，c=2b，
∴a²=c²-b²=（2b）²-b²=3b²=b²+2b²=b²+bc=b（b+c）．

（2）关系式a²=b（b+c）仍然成立．
证明：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD．
则△ACD为等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC为△ACD的一个外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，
∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，
∴△ACD∽△CBD．…
∴，即，
∴a²=b（b+c）．

（3）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a²=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B；
当c＞a＞b或a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
∴边长为4，5，6的三角形为所求．
分析：（1）由∠A=2∠B，且∠A=60°，可求得∠C=90°，由勾股定理与c=2b，即可证得：a²=b（b+c）；
（2）首先延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，易证得△ACD与△BCD是等腰三角形，AC=AD=b，BC=CD=a，BD=b+c，又由△ACD∽△CBD，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）由题意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a²=b（b+c），且a＞b；然后分别从a＞c＞b，c＞a＞b，a＞b＞c去分析，即可求得符合要求的值．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的求解方法以及三角形的三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．